そのままでは積分しにくい関数を、置きかえ(置換積分)や部分ごとに分ける(部分積分)方法で積分する単元です。
だいじな考え方
- 置換積分は、式の中のかたまりを新しい文字u(たとえばu=x2+1)でおきかえ、dxもuを使った式に直してから積分する方法です。
- 置換するときは、u=(おきかえる式)としたあと、du/dxを計算してdxをduの式に直すことがポイントです。
- 部分積分は、2つの関数の積の積分を、∫f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-∫f'(x)g(x)dxの形にして、微分すると簡単になるほうをf(x)側に選ぶ方法です。
- どちらの方法も、そのままでは積分できない式を、積分しやすい形に作りかえるための工夫です。
置換積分は、かたまりをuとおいて、dxもuの式に直す。
やりかた
- 式の中に「(何かの式)の何乗」のような、かたまりが見えたら置換積分を考える
- かたまりをuとおき、du=(uをxで微分した式)dxを作る
- 式全体をuとduだけの式に書きかえて積分する
- 積分できたら、uをもとのxの式にもどす
れい
問題: ∫2x(x2+1)3 dx を求めなさい。
- u=x2+1とおく
- du/dx=2xなので、du=2x dx
- 式は∫u3 duに書きかわる
- 積分するとu4/4+C。uをもとにもどして(x2+1)4/4+C
答え: (x2+1)4/4+C
つまずきやすいところ
uとおいたのに、dxをduに書きかえずにそのまま積分を進めてしまう
置換積分ではdxも必ずduの式に直す。dxを残したままではuだけの式にならない
積分した結果を、uのまま答えにしてしまう
答えはもとの文字xにもどして書く。uは計算の途中だけで使う文字
部分積分で、f(x)とg'(x)の選び方を考えずに、そのまま公式にあてはめてしまう
微分すると簡単になる関数をf(x)にするのがコツ。選び方をまちがえると、かえって複雑になる
たしかめ方
- 求めた積分の結果を微分し直して、もとの被積分関数にもどるかを確かめます。(x2+1)4/4を微分すると、合成関数の微分で(x2+1)3×2x=2x(x2+1)3にもどります。
- 積分定数Cを書き忘れていないかを、不定積分の答えで必ず確認します。