定積分を使って、曲線で囲まれた図形の面積や、回転させてできる立体の体積を求める単元です。
だいじな考え方
- 2つの曲線y=f(x)、y=g(x)にはさまれた部分の面積は、上にある関数から下にある関数をひいた式を、交点のx座標の間で積分して求めます。
- 曲線y=f(x)とx軸、x=a、x=bで囲まれた図形をx軸のまわりに1回転させてできる立体の体積は、V=π∫[a→b]{f(x)}2 dxで求めます。
- 体積の公式でf(x)を2乗するのは、回転してできる各断面が半径f(x)の円になり、その面積がπ{f(x)}2になるためです。
- 面積・体積のどちらも、まず積分する区間(a、b)を、交点や指定された範囲から正しく決めることが最初の作業になります。
回転体の体積は、半径f(x)の円の面積πf(x)2を積分する。
やりかた
- 積分する区間(a、b)を、交点のx座標や問題の指定から求める
- 面積なら(上の関数-下の関数)、体積ならπ×{f(x)}2を被積分関数にする
- 原始関数を求め、bを代入した値からaを代入した値をひく
- 出てきた値が面積・体積として不自然でないか(負にならないか)を確認する
れい
問題: y=xとx軸、x=0、x=2で囲まれた図形をx軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めなさい。
- V=π∫[0→2]{x}2 dxにあてはめる
- x2の原始関数はx3/3
- π×[x3/3]を0から2まで計算する: π×(8/3-0)
- 8π/3
答え: 8π/3
つまずきやすいところ
体積の公式で、f(x)を2乗するのを忘れてπ∫f(x)dxのまま計算してしまう
回転体の断面は円なので、必ずf(x)を2乗してから積分する
面積を求めるとき、上下の関数を確認せずに(f(x)-g(x))の順で固定してしまう
区間の中でどちらの関数が上にあるかを先に確認する。逆にすると面積が負の値になる
積分区間を、交点のx座標を求めずに問題文の数字だけで決めてしまう
2曲線が囲む面積では、2つの式を等しいとおいて交点のx座標を求めることが先の作業
たしかめ方
- 求めた面積・体積が、0より大きい正の値になっているかを確認します。負になっていたら上下の関数を取りちがえています。
- 図をおおまかにかいて、求めた値がその図形の大きさの見た目と近いかを見比べます。