積・商の形の関数や、関数の中に関数が入った合成関数を微分する方法を学ぶ単元です。
だいじな考え方
- 2つの関数の積f(x)g(x)を微分するときは、積の微分公式 {f(x)g(x)}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) を使います。それぞれを別々に微分して、たすのではなく、この形にあてはめます。
- 商の形f(x)/g(x)を微分するときは、{f(x)/g(x)}'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/{g(x)}2 を使います。
- 関数の中に関数が入った合成関数y=f(g(x))を微分するときは、外側の関数を微分したものに、内側の関数の微分をかけます(合成関数の微分、連鎖律)。
- 合成関数の微分は、内側をひとかたまり(たとえばu)とおいて考えると、式が見通しやすくなります。
合成関数の微分は、外側を微分してから、内側の微分をかける。
やりかた
- 関数が「外側の関数(内側の関数)」の形になっているか確認する
- 内側の関数をuなどの文字でおきかえて考える
- 外側の関数をuで微分し、そこにuをもとの式にもどして代入する
- 最後に、内側の関数を微分したものをかける
れい
問題: y=(3x+2)4 を微分しなさい。
- 内側の関数u=3x+2とおくと、y=u4
- 外側の微分: y'=4u3
- 内側の微分: u'=3
- 合成関数の微分公式より、4u3×3=12u3。uをもとにもどす: 12(3x+2)3
答え: 12(3x+2)3
つまずきやすいところ
y=(3x+2)4を微分するとき、内側の微分(×3)をかけ忘れてしまう
合成関数の微分では、外側を微分したあとに必ず内側の微分をかける。これを忘れると答えが3倍小さくなる
積の微分で、f'(x)g'(x)のように両方を微分してかけてしまう
積の微分はf'(x)g(x)+f(x)g'(x)。片方だけを微分し、もう片方はそのまま残す形を2通りたす
商の微分で、分子の順番(f'g-fg')を逆にしてしまう
分子はf'(x)g(x)からf(x)g'(x)をひく順番が決まっている。逆にすると符号が変わってしまう
たしかめ方
- 展開できる式であれば、展開してから微分した結果と、公式を使って微分した結果が一致するかを確かめます。
- 求めた導関数に、内側の式が0になるようなxの値を代入し、式の形が不自然でないかを見直します。