導関数を使って接線の式を求めたり、極大・極小を調べてグラフをかいたり、動く点の速度・加速度を求めたりする単元です。
だいじな考え方
- 曲線y=f(x)上の点(a, f(a))における接線の傾きはf'(a)です。接線の式はy-f(a)=f'(a)(x-a)で作れます。
- f'(x)の符号が正から負に変わる点でf(x)は極大、負から正に変わる点でf(x)は極小になります。f'(x)=0となるxの値の前後で符号を調べます。
- 増減表は、xの値ごとにf'(x)の符号とf(x)の増減(↗、↘)をまとめた表で、グラフの形をつかむのに使います。
- 点が時刻tで位置x(t)を動くとき、速度はx(t)を微分したもの、加速度は速度をさらに微分したものです。
f'(x)=0の前後で符号が変わるところが、極大・極小。
やりかた
- f(x)を微分してf'(x)を求める
- f'(x)=0となるxの値を求める
- その値の前後でf'(x)の符号を調べ、増減表を作る
- 符号が正から負に変わるところが極大、負から正に変わるところが極小
れい
問題: f(x)=x3-3x の極値を求めなさい。
- 微分する: f'(x)=3x2-3
- f'(x)=0を解く: 3x2-3=0より、x2=1、x=1, -1
- x=-1の前後でf'(x)は正から負に変わるので極大。f(-1)=-1+3=2
- x=1の前後でf'(x)は負から正に変わるので極小。f(1)=1-3=-2
答え: x=-1で極大値2、x=1で極小値-2
つまずきやすいところ
f'(x)=0となるxの値を求めただけで、極値(f(x)の値)を計算せずに終わらせてしまう
極値はf(x)にそのxを代入した値。f'(x)=0はあくまでxの値を見つけるための式
f'(x)=0となる点は、必ず極値になると思いこんでしまう
f'(x)=0でも、前後で符号が変わらなければ極値ではない(たとえばy=x3のx=0)
接線の式を作るとき、f(a)の値を求めずに、傾きf'(a)だけで式を作ってしまう
接線の式y-f(a)=f'(a)(x-a)には、傾きと通る点の両方が必要
たしかめ方
- 増減表の矢印(↗、↘)が、極大・極小の位置で正しく切りかわっているかを見直します。
- 求めた極値の前後のxで実際にf(x)を計算し、極大なら周りより大きく、極小なら周りより小さくなっているかを確かめます。