複素数a+biを座標平面上の点として表し、極形式やド・モアブルの定理を使って計算する単元です。
だいじな考え方
- 複素数a+biは、x軸を実部、y軸を虚部とする平面(複素数平面)上の点(a, b)として表せます。
- 複素数z=a+biは、原点からのきょりr(絶対値)と、実軸からの角度θを使って、z=r(cosθ+isinθ)の形(極形式)でも表せます。r=√(a2+b2)です。
- 極形式で表された複素数どうしの積は、絶対値どうしをかけ、角度どうしをたすだけで求められます。かけ算のたびに展開しなくてよいので便利です。
- ド・モアブルの定理は、z=r(cosθ+isinθ)のn乗が、z^n=r^n(cos nθ+i sin nθ)になる、という性質です。角度をn倍するだけでn乗が求まります。
極形式の積は、絶対値はかけ算、角度はたし算。
やりかた
- 複素数a+biを、r=√(a2+b2)とtanθ=b/aから極形式に直す
- n乗を求めるときは、ド・モアブルの定理でrをn乗、角度をn倍する
- r^n(cos nθ+i sin nθ)の形になった角度を、必要ならわかりやすい角度に直す
- 最後にa+biの形にもどして答える
れい
問題: z=1+i を極形式に直し、z4を求めなさい。
- r=√(12+12)=√2、角度は45°(π/4)なのでz=√2(cos45°+isin45°)
- ド・モアブルの定理より、z4=(√2)4(cos(4×45°)+isin(4×45°))
- (√2)4=4、4×45°=180°
- z4=4(cos180°+isin180°)=4×(-1+0i)=-4
答え: -4
つまずきやすいところ
極形式のn乗を求めるとき、絶対値rはそのままにして角度だけn倍してしまう
rもn乗することを忘れない。ド・モアブルの定理はr^nと角度のn倍の両方が必要
角度を求めるとき、実部・虚部の符号を見ずにtanθの値だけで角度を決めてしまう
実部・虚部の符号から、その点がどの象限にあるかを確認してから角度を決める
cos180°、sin180°のような角度の値を、覚えまちがえて計算してしまう
単位円をイメージし、180°の点は(-1, 0)なのでcos180°=-1、sin180°=0、と確認する
たしかめ方
- 求めた答えを、複素数平面上の点として図にかき、もとのzの点から回転・拡大した位置に自然にあるかを確かめます。
- 極形式にもどす前の値(a+bi)と、極形式で計算してもどした値が一致するかを見比べます。