円以外の、放物線・楕円・双曲線という2次式で表される曲線の形と性質を学ぶ単元です。
だいじな考え方
- 放物線は、定点(焦点)と定直線(準線)から等しいきょりにある点の集まりです。y2=4pxの形で表され、頂点は原点、焦点は(p, 0)です。
- 楕円は、2つの定点(焦点)からのきょりの和が一定である点の集まりです。x2/a2+y2/b2=1の形で表され、a>bならx軸方向に長い楕円になります。
- 双曲線は、2つの定点(焦点)からのきょりの差が一定である点の集まりです。x2/a2-y2/b2=1の形で表されます。
- 楕円・双曲線の離心率は、焦点までのきょりと曲線の形の関係を表す数で、円に近いか、細長いかを表します。
楕円は距離の和が一定、双曲線は距離の差が一定。
やりかた
- 曲線の式を見て、放物線・楕円・双曲線のどの標準形にあてはまるか判断する
- 楕円x2/a2+y2/b2=1では、a2、b2の値を式から読み取る
- c2=a2-b2(a>bのとき)を計算し、焦点の座標(c, 0)と(-c, 0)を求める
- 双曲線ではc2=a2+b2の関係を使う(符号がちがうことに注意)
れい
問題: 楕円 x2/25+y2/9=1 の焦点の座標を求めなさい。
- a2=25、b2=9で、a2>b2なのでx軸方向に長い楕円
- c2=a2-b2を計算する: 25-9=16
- c=4(cは正の値)
- 焦点はx軸上の(c, 0)と(-c, 0)
答え: (4, 0)と(-4, 0)
つまずきやすいところ
楕円の焦点を求めるのに、c2=a2+b2と双曲線の式を使ってしまう
楕円はc2=a2-b2(ひき算)、双曲線はc2=a2+b2(たし算)。符号を取りちがえない
x2/25+y2/9=1で、どちらの数がa2かを見分けずに、大きい数を機械的にa2としてしまう
a2は焦点がある軸の分母。この式ではx2の分母が大きいのでx軸方向に焦点がある
焦点の座標を(c, c)のように、両方の座標にcを入れてしまう
焦点はx軸上(またはy軸上)にあるので、座標は(c, 0)と(-c, 0)のように片方の座標だけがcになる
たしかめ方
- 楕円上の1点から2つの焦点までのきょりをそれぞれ求め、その和が2a(この問題なら10)になるかを確かめます。
- a2、b2、c2の関係(楕円ならa2=b2+c2)にもう一度あてはめて、数値が矛盾していないかを確認します。