2乗すると-1になる数iを使って複素数を計算し、実数の範囲では解けない2次方程式を解く単元です。
だいじな考え方
- 虚数単位iは、2乗すると-1になる数(i2=-1)です。a+bi(a、bは実数)の形の数を複素数といいます。
- 複素数の計算は、iを1つの文字のように扱って計算を進め、出てきたi2を-1に置きかえます。
- a+biに対して、虚部の符号だけを変えたa-biを共役複素数といいます。共役複素数どうしの積(a+bi)(a-bi)は、a2+b2という実数になります。
- 2次方程式ax2+bx+c=0で、解の公式のルートの中(b2-4ac)が負になるとき、実数の解はなく、共役な2つの複素数が解になります。
i2=-1に置きかえるだけで、あとは文字式と同じ計算。
やりかた
- 複素数どうしの積は、分配法則で展開する
- 出てきたi2を-1に置きかえて整理する
- 2次方程式でb2-4acが負になったら、解の公式の√の中をi√(正の数)の形にする
- 実部と虚部を整理して、a+biの形で答える
れい
問題: x2+8x+20=0 を解きなさい。
- 解の公式にあてはめる: x=(-8+√(64-80))/2 と x=(-8-√(64-80))/2
- 64-80=-16なので、√(-16)=√16×√(-1)=4i
- x=(-8+4i)/2=-4+2i、x=(-8-4i)/2=-4-2i
答え: x=-4+2i, -4-2i
つまずきやすいところ
i2を、-1ではなく1のままにして計算を続けてしまう
i2が出てきたら必ず-1に置きかえる。ここを忘れると答えが実数のようになってしまう
√(-16)を、√16=4の前にマイナスをつけて-4としてしまう
√(-16)は4i(4かけるi)。マイナスの数の平方根は、正の数の平方根にiをかけた形になる
共役複素数を作るとき、実部の符号まで変えてしまう
共役複素数は虚部の符号だけを変える。a+biの共役はa-bi
たしかめ方
- 求めた解を、もとの2次方程式に代入し、i2=-1を使って計算すると0になるかを確かめます。
- 2つの解をたすと-b/a、かけるとc/aになる(解と係数の関係)ことを利用して、検算します。れいなら和は-8/1=-8、(-4+2i)+(-4-2i)=-8で一致します。