指数の計算のきまりを整数以外の指数に広げ、その逆の考え方である対数を学ぶ単元です。
だいじな考え方
- 指数法則(a^m×a^n=a^(m+n)など)は、mやnが分数や負の数のときにも成り立つように広げられます。a^(1/n)はaのn乗根を表します。
- 対数log_a bは、「aを何乗するとbになるか」を表す数です。a^x=bのとき、x=log_a bと定義されます。aを底、bを真数といいます。
- 対数には計算のきまりがあります。log_a(MN)=log_a M+log_a N(積は和)、log_a(M/N)=log_a M-log_a N(商は差)、log_a M^k=k×log_a M(累乗はかけ算)です。
- 底が10の対数を常用対数といい、桁数を調べるときなどに使われます。
log_a bは「aを何乗したらbになるか」。
やりかた
- log_a bの形を見たら、「aを何乗したらbになるか」を考える
- bをaの累乗の形(a^x)に書きかえられないか試す
- 書きかえられたら、xがそのままlog_a bの答え
- 積・商・累乗をふくむ対数は、log_a(MN)=log_a M+log_a Nなどのきまりで分解する
れい
問題: log_2 8 の値を求めなさい。
- 「2を何乗したら8になるか」を考える
- 8=2×2×2=23
- 2を3乗すると8になるので、log_2 8=3
答え: 3
つまずきやすいところ
log_a(M+N)を、log_a M+log_a Nのように分解してしまう
積と和を混同しない。分解できるのはlog_a(MN)(かけ算)のときで、log_a(M+N)(たし算)は分解できない
log_2 8を求めるのに、8を2でわった数(4)を答えにしてしまう
対数は何回かけたらその数になるか。8=2×2×2なので3回、つまり3
底が同じでない対数どうしを、そのままたし算・ひき算してしまう
対数のきまりが使えるのは底が同じ対数どうし。底がちがえば先にそろえる必要がある
たしかめ方
- 求めた対数の値xを使って、a^xを実際に計算し、もとの真数bと一致するかを確かめます。れいなら23=8で一致します。
- 対数のきまりを使って分解・合成したら、具体的な数を入れてもとの式と同じ値になるかを確認します。