関数の変化のはやさ(微分)と、グラフとx軸で囲まれた面積(積分)を、多項式の範囲で求める単元です。
だいじな考え方
- 関数y=x^nの導関数(微分した式)は、y'=n×x^(n-1)です。指数nを前に出し、指数を1減らす、という規則です。
- 導関数y'は、グラフ上のその点での接線の傾きを表します。y'の符号で、関数が増えているか減っているかがわかります。
- 定積分∫[a→b]f(x)dxは、f(x)の原始関数(微分するとf(x)になる関数)F(x)を使って、F(b)-F(a)で計算できます。
- f(x)がx軸より上にあるとき、∫[a→b]f(x)dxは、グラフとx軸、x=aとx=bで囲まれた面積を表します。
微分は指数を前に出して1減らす。積分はその逆。
やりかた
- 微分するときは、各項の指数を前に出し、指数を1減らす
- 定積分は、まず原始関数F(x)を求める(微分の逆の操作)
- F(x)にbを代入した値から、aを代入した値をひく
- 面積を求める問題では、区間内でf(x)が負にならないかも確認する
れい
問題: ∫[0→5] 6x dx を求めなさい。
- 6xの原始関数を求める。微分すると6xになる式は3x2
- F(x)=3x2として、F(5)-F(0)を計算する
- F(5)=3×25=75、F(0)=0
- 75-0=75
答え: 75
つまずきやすいところ
y=x^nを微分するとき、指数nをそのまま前に出さずに係数だけ変えてしまう
y'=n×x^(n-1)。指数を前に出し、指数を1減らす、この2つを両方行う
定積分∫[a→b]f(x)dxを求めるのに、原始関数を求めずにf(x)自身にa、bを代入してひいてしまう
先に原始関数F(x)を求めてから、F(b)-F(a)を計算する。f(x)のままでは計算できない
原始関数を求めるとき、+Cのような積分定数を定積分にも書いてしまう
定積分はF(b)-F(a)の引き算で積分定数Cが消えるので、定積分の計算では書かなくてよい
たしかめ方
- 求めた原始関数F(x)を微分し直して、もとのf(x)にもどるかを確かめます。3x2を微分すると6xで一致します。
- 定積分の値が、グラフのだいたいの面積の見た目(区間の幅×高さの見当)と近い値になっているかを確認します。