円や直線を座標とx、yの方程式で表し、その交わり方や、条件を満たす点の集まり(軌跡・領域)を調べる単元です。
だいじな考え方
- 中心が(a, b)、半径がrの円の方程式は、(x-a)2+(y-b)2=r2です。円周上のどの点も、中心からのきょりがrであることをそのまま式にしています。
- 直線と円の位置関係は、円の中心と直線とのきょりdと半径rを比べて決まります。d<rなら2点で交わり、d=rなら接し、d>rなら交わりません。
- ある条件を満たす点全体の集まりを軌跡といいます。軌跡を求めるには、点の座標を(x, y)とおき、条件をそのままx、yの式にします。
- 不等式を満たす点の集まりを座標平面上に表したものを領域といいます。境界の式を先にかき、不等号の向きで内側か外側かを決めます。
円の方程式は、中心からのきょり=半径、をそのまま式にしたもの。
やりかた
- 円の方程式を作るときは、中心の座標と半径の値を確認する
- (x-a)2+(y-b)2=r2の形にあてはめる
- 直線と円の位置関係は、点と直線の距離の公式でdを求め、rと比べる
- 軌跡は、動く点を(x, y)とおき、問題の条件をそのままx、yの式で表してから整理する
れい
問題: 中心が(2, -1)、半径が3の円の方程式を求めなさい。
- (x-a)2+(y-b)2=r2にあてはめる
- a=2、b=-1、r=3を入れる
- (x-2)2+(y-(-1))2=32
- 整理する: (x-2)2+(y+1)2=9
答え: (x-2)2+(y+1)2=9
つまずきやすいところ
中心が(2, -1)のとき、円の方程式を(x+2)2+(y-1)2=9のように符号を逆にしてしまう
円の方程式は(x-a)2+(y-b)2=r2の形。中心が(2, -1)ならa=2、b=-1をそのまま代入する
円の方程式の右辺を、半径rのままr2にせずに書いてしまう
右辺は半径の2乗。半径3なら9になる
直線と円の位置関係を、図を見た感覚だけで判断してしまう
点と直線の距離dと半径rを数値で比べて判断する。d、r、2rの大小を必ず計算する
たしかめ方
- 求めた円の方程式に、円周上にあるとわかっている点の座標を代入し、等号が成り立つかを確かめます。
- 中心の座標と半径を、方程式から逆に読み取り直し、もとの条件と一致するかを見ます。