角の大きさを弧度法(ラジアン)で表し、加法定理や合成を使って三角関数の式を変形する単元です。
だいじな考え方
- 弧度法では、角の大きさを弧の長さで表します。180°=πラジアンが基本の対応で、度からラジアンに直すにはπ/180をかけ、逆はその逆数をかけます。
- 加法定理は、sin(a+b)=sina×cosb+cosa×sinb、cos(a+b)=cosa×cosb-sina×sinbのように、2つの角の和・差の三角比を、それぞれの角の三角比で表す公式です。
- 三角関数の合成は、asinθ+bcosθの形を、1つのsin(θ+α)の形にまとめる方法です。√(a2+b2)がsinの前の数になり、αはtanα=b/aから決まる角です。
- 加法定理は、30°、45°、60°などの角の組み合わせから、15°や75°のような新しい角の三角比を求めるのにも使えます。
度をラジアンに直すには、π/180をかける。
やりかた
- 度をラジアンに直すときは、度の数にπ/180をかける
- 加法定理を使うときは、2つの角に分けて、それぞれの三角比の値を用意する
- 公式sin(a+b)=sina×cosb+cosa×sinbなどにそのままあてはめる
- 合成するときは、√(a2+b2)を係数にし、tanα=b/aからαを決める
れい
問題: π/3 ラジアンを度で表しなさい。
- ラジアンを度に直すには、180/πをかける
- π/3に180/πをかける
- (π/3)×(180/π)=180/3=60
答え: 60°
つまずきやすいところ
度をラジアンに直すときと、ラジアンを度に直すときで、かける数を逆にしてしまう
度→ラジアンはπ/180をかけ、ラジアン→度は180/πをかける。逆にすると答えがまったく違う数になる
加法定理で、sinとcosを組み合わせる順番をまちがえる
sin(a+b)=sina cosb+cosa sinbはsinとcosを交差させ、cos(a+b)=cosa cosb-sina sinbは同じ種類どうしをかけて符号がマイナス、と形をセットで覚える
合成をするとき、係数√(a2+b2)を求めずにaやbをそのまま前に出してしまう
合成の係数は必ず√(a2+b2)。aやbそのものではない
たしかめ方
- 度とラジアンの変換は、90°=π/2、180°=πのようなよく使う値と比べて、大きさの見当が合っているかを確かめます。
- 加法定理を使った式に、a、bへ具体的な角(30°など)を入れて計算し、もとの三角比の表の値と一致するかを確認します。