大きさと向きを持つ量(ベクトル)を成分で表し、内積を使って角度や垂直・平行を調べる単元です。
だいじな考え方
- ベクトルは、成分(x成分, y成分)で表せます。2つのベクトルの和・差は、それぞれの成分どうしを計算します。
- ベクトルa=(a1, a2)の大きさ|a|は、三平方の定理と同じ考え方で√(a12+a22)で求めます。
- 2つのベクトルa=(a1, a2)、b=(b1, b2)の内積a・bは、a1×b1+a2×b2で計算します。図形的には、a・b=|a||b|cosθ(θは2つのベクトルのなす角)とも表されます。
- 内積が0になるのは、2つのベクトルが垂直なときです。この性質は、垂直な図形を確かめる問題によく使われます。
内積は、成分どうしをかけてたす。
やりかた
- 2つのベクトルの成分を確認する
- それぞれのx成分どうし、y成分どうしをかける
- かけた2つの値をたして内積を求める
- 垂直かどうかを調べるときは、内積が0になるかを確認する
れい
問題: ベクトル(-1, -2)とベクトル(2, -5)の内積を求めなさい。
- x成分どうしをかける: (-1)×2=-2
- y成分どうしをかける: (-2)×(-5)=10
- 2つをたす: -2+10=8
答え: 8
つまずきやすいところ
内積を求めるのに、x成分どうしとy成分どうしをかけたあと、たさずにそのまま2つの数として答えてしまう
内積は1つの数。x成分の積とy成分の積をたし合わせて1つの値にする
負の数の成分どうしをかけるとき、符号を考えずに計算してしまう
(-2)×(-5)のように負×負は正の数になる。符号の計算を先に済ませてからたす
内積が0になったことから、2つのベクトルの大きさが0だと勘ちがいしてしまう
内積が0は垂直を意味する。ベクトルの大きさとは関係がない
たしかめ方
- 求めた内積を、a・b=|a||b|cosθの式でも確認できます。|a|、|b|を求め、cosθ=(内積)/(|a||b|)が-1から1の範囲におさまっているかを見ます。
- 成分の積の計算を、x成分とy成分を入れかえてもう一度計算し直し、同じ答えになるかを確かめます。