一定の規則で並ぶ数の列(数列)の一般項を求め、和や漸化式、数学的帰納法を学ぶ単元です。
だいじな考え方
- 前の項に一定の数(公差)をたして増える数列を等差数列といい、一般項はa_n=a_1+(n-1)dです。前の項に一定の数(公比)をかけて増える数列を等比数列といい、一般項はa_n=a_1×r^(n-1)です。
- 数列の和はΣ(シグマ)を使って表します。等差数列の和は(初項+末項)×項数÷2で求められます。
- 漸化式は、a_(n+1)をa_nの式で表したもので、数列を「1つ前の項から次の項を作るルール」として定義します。
- 数学的帰納法は、「n=1で成り立つ」ことと「n=kで成り立つならn=k+1でも成り立つ」ことの2つを示して、すべての自然数nで成り立つことを証明する方法です。
等差数列はたし算、等比数列はかけ算で次の項ができる。
やりかた
- 数列が等差か等比かを、となりの項どうしの差・比を調べて判断する
- 等差ならa_n=a_1+(n-1)d、等比ならa_n=a_1×r^(n-1)に、初項と公差(公比)をあてはめる
- 漸化式の問題は、最初のいくつかの項を実際に計算して規則をつかむ
- 数学的帰納法では、n=1の確認と、n=kからn=k+1を導く手順を順に書く
れい
問題: 初項8、公差7の等差数列の第5項を求めなさい。
- 等差数列の一般項a_n=a_1+(n-1)dにあてはめる
- a_1=8、d=7、n=5を代入する
- a_5=8+(5-1)×7
- 8+28=36
答え: 36
つまずきやすいところ
等差数列の一般項で、(n-1)のかっこを忘れて(n)×dで計算してしまう
公差をかけるのは(n-1)回。第1項はまだ公差を1回もたしていないことを思い出す
等比数列と等差数列の公式を取りちがえて、公比をかけ算ではなくたし算してしまう
等差はたし算(+d)、等比はかけ算(×r)。式の形もa_1+(n-1)dとa_1×r^(n-1)で違う
数学的帰納法で、n=1の確認だけをして、n=kからn=k+1を示す部分を省いてしまう
2つの手順は両方とも必要。片方だけではすべての自然数について示したことにならない
たしかめ方
- 求めた一般項の式に、n=1を代入して、初項の値と一致するかを確かめます。
- れいならa_1=8+(1-1)×7=8で、問題の初項8と一致します。第2項、第3項も実際に計算して、規則どおり7ずつ増えているかを見ます。