ものの集まり(集合)の個数を数えたり、「もし〜ならば」という文(命題)の正しさを対偶や背理法で調べたりする単元です。
だいじな考え方
- 2つの集合A、Bについて、AとBの少なくとも一方に入る要素の個数n(A∪B)は、n(A)+n(B)から、両方に重なる部分n(A∩B)を1回ひいて求めます。重なりを考えずにたすと、重なった部分を2回数えてしまいます。
- 「PならばQ」という命題に対して、「QでないならPでない」という命題を対偶といいます。もとの命題と対偶は、つねに真偽が一致します。
- 対偶を作るときは、仮定と結論を入れかえて、それぞれを否定します。直接示しにくい命題は、対偶を示すほうが簡単なことがあります。
- 背理法は、結論を否定して矛盾を導き、もとの結論が正しいと示す方法です。
対偶は、仮定と結論を入れかえて、両方を否定する。
やりかた
- 集合の個数を求めるときは、n(A)+n(B)-n(A∩B)の形にあてはめる
- 命題「PならばQ」の対偶を作るときは、まずQを否定し、次にPを否定する
- 「QでないならばPでない」の形に文をつなげる
- 対偶が正しいかを調べれば、もとの命題の正しさもわかる
れい
問題: n(A)=15, n(B)=12, n(A∩B)=4 のとき、n(A∪B)を求めなさい。
- n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)にあてはめる
- 15+12-4を計算する
- 27-4=23
答え: 23
つまずきやすいところ
n(A∪B)を、重なりをひかずにn(A)+n(B)だけで計算してしまう
重なる部分n(A∩B)は2回数えられているので、必ず1回分をひく
対偶を作るとき、仮定と結論を入れかえずに、それぞれをただ否定するだけにしてしまう
対偶は入れかえてから否定する。「PならばQ」の対偶は「QでないならPでない」
「xが有理数」の否定を「xが無理数」以外の何かだと考えてしまう
実数の中では、有理数でないものはすべて無理数。否定の範囲を正しくとらえる
たしかめ方
- 集合の個数を求めたら、n(A)、n(B)、n(A∩B)よりも大きすぎたり小さすぎたりしないか、全体の個数の見当と照らします。
- 対偶を作ったら、「もし」と「ならば」のあとの文が、もとの命題からきちんと入れかわり、否定されているかを見直します。