三角形の辺と角の関係を、三角比・正弦定理・余弦定理を使って調べる単元です。
だいじな考え方
- 直角三角形で、角の大きさに対する辺の比を三角比(sin、cos、tan)といいます。30°、45°、60°の三角比の値は、決まった形の直角三角形から求められるので覚えておきます。
- 正弦定理は、三角形の辺の長さと向かい合う角のsinの比が、外接円の直径で一定になるという性質(a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R)です。
- 余弦定理は、直角三角形でなくても使える三平方の定理の拡張で、a2=b2+c2-2bc×cosAの形をしています。2辺とその間の角、または3辺がわかっているときに使います。
- 正弦定理は「辺と、向かい合う角」の組がわかっているとき、余弦定理は「2辺とその間の角」か「3辺すべて」がわかっているときに使う、と使い分けます。
三角比は、直角三角形の辺の比。まず30°、45°、60°の値を覚える。
やりかた
- わかっている情報が、辺と向かい合う角の組か、2辺とその間の角か、3辺すべてかを確認する
- 向かい合う角の組があれば正弦定理、2辺と間の角か3辺なら余弦定理を選ぶ
- 公式に、わかっている値をそのままあてはめる
- 三角比の値が必要なときは、30°、45°、60°の決まった値を使う
れい
問題: tan 60° の値を求めなさい。
- 60°の直角三角形は、辺の比が1:2:√3になる
- tanは(向かい側の辺)÷(となりの辺)なので、√3の辺を1の辺でわる
- tan60°=√3/1
答え: √3
つまずきやすいところ
sin、cos、tanのどの辺とどの辺の比かを取りちがえる
sinは斜辺と向かい側の辺、cosは斜辺ととなりの辺、tanはとなりの辺と向かい側の辺の比。図をかいて確認する
余弦定理を使うべき場面で、直角三角形でないのに三平方の定理をそのまま使ってしまう
直角三角形でなければ三平方の定理は使えない。代わりに余弦定理を使う
正弦定理と余弦定理を、わかっている条件を確認せずに使ってしまう
向かい合う角の組があるかどうかで、先にどちらの定理を使うかを決める
たしかめ方
- 求めた辺や角を図にかきこみ、三角形として無理のない形(一番大きい辺が一番大きい角の向かいにあるか)を確認します。
- 余弦定理で求めた値を、もう一度式にあてはめて、等号が成り立つかを確かめます。