y=ax2+bx+cの形の関数を、平方完成でグラフの頂点がわかる形に直し、最大最小や二次不等式に利用する単元です。
だいじな考え方
- y=ax2+bx+cは、そのままでは頂点の位置がわかりません。式をy=a(x-p)2+qの形に変形すると、頂点が(p, q)だとひと目でわかります。この変形を平方完成といいます。
- 平方完成は、xの2次と1次の項をx2+bxの形にまとめ、(bの半分)の2乗をたして、同じ数をひくことで、(x+bの半分)2の形を作り出します。
- 頂点がわかれば、aが正なら頂点で最小値、aが負なら頂点で最大値をとることがわかります。
- 二次不等式は、y=ax2+bx+cのグラフがx軸より上か下かを考える問題です。グラフの形(頂点とx軸との交点)がわかれば、不等式を満たすxの範囲が読み取れます。
平方完成すれば、頂点の座標がそのまま見える。
やりかた
- x2の係数が1でなければ、x2とxの項をその係数でくくる
- x2+bxの部分に、(bの半分)の2乗をたしてひく
- たした部分を(x+bの半分)2の形にまとめる
- 定数項を整理し、y=a(x-p)2+qの形にして頂点(p, q)を読み取る
れい
問題: y=x2+4x+1 の頂点の座標を求めなさい。
- x2+4xの部分に注目し、(4の半分)2=4をたしてひく: x2+4x+4-4+1
- たした部分をまとめる: (x+2)2-4+1
- 定数をまとめる: (x+2)2-3
- 頂点は(-2, -3)
答え: (-2, -3)
つまずきやすいところ
平方完成で、(bの半分)の2乗をたすだけで、ひくのを忘れてしまう
たしただけでは式の値が変わってしまう。同じ数を必ずひいてつじつまを合わせる
頂点の座標を(p, q)ではなく(-p, q)のように、xの符号を逆にしてしまう
y=a(x-p)2+qの形なら頂点は(p, q)。(x+2)2は(x-(-2))2と同じなのでp=-2
x2の係数が1でないとき、くくらずに平方完成を始めてしまう
係数が1でなければ、先にx2とxの項をその係数でくくり出してから平方完成する
たしかめ方
- 平方完成した式を展開し直して、もとのy=x2+4x+1にもどるかを確かめます。(x+2)2-3=x2+4x+4-3=x2+4x+1で一致します。
- 頂点のx座標を、もとの式に代入してyの値を求め、頂点のy座標と一致するかを確認します。