最大公約数の求め方(ユークリッドの互除法)や、あまりに注目する合同式、不定方程式の解き方を学ぶ単元です。
だいじな考え方
- ユークリッドの互除法は、2つの整数の最大公約数を、わり算のあまりをくり返し使って求める方法です。大きいほうを小さいほうでわり、あまりが0になるまで「わる数とあまり」の組でくり返すと、最後にわった数が最大公約数になります。
- 2つの整数a、bを同じ数mでわったあまりが等しいとき、「aとbはmを法として合同である」といい、合同式で表します。あまりだけに注目することで、大きな数の計算が楽になります。
- ax+by=cの形で、x、yを整数の範囲で求める式を不定方程式といいます。1つの解が見つかれば、そこから他の解も規則的に作れます。
- 互除法は、公約数を求めるだけでなく、不定方程式の解を見つける手がかりにも使われます。
互除法は、あまりが0になるまで「わる数とあまり」をくり返す。
やりかた
- 大きいほうの数を小さいほうの数でわり、あまりを求める
- わる数とあまりの組で、また同じわり算をくり返す
- あまりが0になったら、そのときのわる数が最大公約数
- 不定方程式は、まず互除法の過程を逆にたどって1つの解を見つける
れい
問題: 88と297の最大公約数を求めなさい。
- 297を88でわる: 297=88×3+33
- 88を33でわる: 88=33×2+22
- 33を22でわる: 33=22×1+11
- 22を11でわる: 22=11×2+0。あまりが0になったので、最大公約数は11
答え: 11
つまずきやすいところ
わり算のあまりを求めるとき、わる数とわられる数を逆にしてしまう
必ず大きいほうを小さいほうでわる。297と88なら297を88でわる
あまりが0になったときの「あまり」を最大公約数だと思ってしまう
あまりが0になったときのわる数が最大公約数。あまり(0)ではない
互除法をとちゅうでやめて、あまりが0になる前の数を最大公約数にしてしまう
あまりが0になるまでくり返す。とちゅうの数はまだ最大公約数ではない
たしかめ方
- 求めた最大公約数で、もとの2つの数をそれぞれわり、どちらもわり切れる(あまりが0になる)ことを確かめます。
- 88÷11=8、297÷11=27のように、両方とも整数になっていれば正しく求まっています。