ものを並べたり選んだりする方法の数(順列・組合せ)を数え、確率や期待値を求める単元です。
だいじな考え方
- 異なるn個からr個を選んで順番も考えて並べる方法の数を順列といい、nPrで表します。nPr=n×(n-1)×…×(n-r+1)、つまりnから1ずつ小さくしながらr個かける計算です。
- 異なるn個からr個を順番を考えずに選ぶ方法の数を組合せといい、nCrで表します。nCr=nPr÷r!で、並べた数を、選んだr個の並べ方(r!通り)でわって、順番の重なりを消します。
- 「並べる」なら順列、「選ぶだけ」なら組合せ、と問題文に順番が関係するかどうかで使い分けます。
- 確率の期待値は、それぞれの結果の値に、その結果が起こる確率をかけて全部たしたものです。
並べるなら順列、選ぶだけなら組合せ。
やりかた
- 問題文が「並べる」ことを求めているか、「選ぶだけ」でよいかを見きわめる
- 並べるならnPr=n×(n-1)×…×(n-r+1)を計算する
- 選ぶだけならnCr=nPr÷r!を計算する
- 期待値を求めるときは、(値×確率)を結果ごとに計算してすべてたす
れい
問題: 異なる5個から3個を選んで並べる方法は何通りですか。
- 順番も考えるので順列nPrを使う。n=5、r=3
- 5から1ずつ小さくしながら3個かける: 5×4×3
- 5×4×3=60
答え: 60通り
つまずきやすいところ
「選ぶ」だけの問題なのに、順列nPrで計算してしまう
順番が関係なければ組合せnCr。nPrを求めたあとr!でわるのを忘れない
nPrを計算するとき、かける数の個数をrではなくnにしてしまう
nから1ずつ小さくしながらr個だけかける。5P3なら5×4×3の3個で止める
組合せnCrを求めるのに、r!でわらずにnPrをそのまま答えにしてしまう
組合せはnPrをr!(選んだ個数の階乗)でわって、並べ方の重なりを消す
たしかめ方
- 小さい数で同じ形の問題を作り、手で書き出した場合の数と、公式で計算した数が一致するかを確かめます。
- nCrで求めた答えに、選んだ個数の階乗r!をかけ直すと、nPrの値にもどるかを確認します。