三角形の辺の比や、円と直線の関係を、チェバの定理・メネラウスの定理・方べきの定理で調べる単元です。
だいじな考え方
- 方べきの定理は、円の中の1点を通る2直線が円と交わるとき、それぞれの直線上の2つの線分の長さの積が等しくなる、という性質です。円の外の点から引いた場合にも成り立ちます。
- チェバの定理は、三角形の各頂点と向かい合う辺の上の点を結んだ3本の線が1点で交わるとき、辺の分け方の比をかけ合わせると1になる、という性質です。
- メネラウスの定理は、三角形の辺(またはその延長)を1本の直線が横切るとき、辺の分け方の比をかけ合わせると1になる、という性質です。
- どちらの定理も、辺の比を、頂点の順にぐるっと1周たどってかけ合わせるという形は共通しています。
方べきの定理は、円の中の線分の積が等しい。
やりかた
- 円の中の点を通る2直線があれば、方べきの定理(2つの線分の積が等しい)を使えないか考える
- 三角形の辺の比を求める問題では、3本の線が1点で交わるかを確認する
- 1点で交わるならチェバの定理、1本の直線が辺を横切るならメネラウスの定理を使う
- 頂点の順に比をぐるっとたどり、かけ合わせて1になる式を作る
れい
問題: 円の中の点Pを通る2本の弦があり、一方はPで長さ3と4に、もう一方は長さ2とxに分けられています。xを求めなさい。
- 方べきの定理より、2つの線分の積は等しい
- 3×4=2×x
- 12=2xより、x=6
答え: 6
つまずきやすいところ
方べきの定理を使うとき、同じ直線上の2つの線分どうしをかけてしまう
かけ合わせるのはそれぞれの直線上の2つの線分。片方の直線の2つの積と、もう片方の直線の2つの積を等しいとおく
チェバの定理とメネラウスの定理を、図の形を見ずにどちらでも使えると思ってしまう
3本の線が1点で交わるならチェバ、1本の直線が辺を横切るならメネラウス。図の形で区別する
辺の比をたどるとき、頂点をたどる向きをとちゅうで逆にしてしまう
頂点の順にぐるっと同じ向きでたどり続ける。逆にすると比が正しく求まらない
たしかめ方
- 求めた長さを図に書きこみ、それぞれの線分の長さが正の数になっているか(負にならないか)を確認します。
- 方べきの定理なら、求めた値でもう一度2つの積を計算し直し、両方が同じ値になるかを確かめます。