yがxの2乗に比例するy=ax2の形の関数を、グラフや変化の割合で調べる単元です。
だいじな考え方
- y=ax2のグラフは、原点を通り、y軸について左右対称な曲線(放物線)になります。aが正なら上に開き、aが負なら下に開きます。
- xにどんな数を入れても、xの2乗は0以上になるので、aが正ならyもつねに0以上、aが負ならyはつねに0以下になります。
- 一次関数とちがい、変化の割合(yの増加量÷xの増加量)は一定ではありません。xの範囲によって値が変わります。
- xの動く範囲を変域といいます。y=ax2では、変域の中に0がふくまれるかどうかで、yの変域の求め方が変わります。0をふくむときは、yの変域の一方の端が必ず0になります。
y=ax2の変化の割合は、xの範囲によって変わる。
やりかた
- y=ax2にxの値を代入して、対応するyの値を求める
- 変化の割合は、xの2つの値でのyの値をそれぞれ求め、(yの増加量)÷(xの増加量)で計算する
- 変域を求めるときは、xの範囲に0がふくまれるかをまず確認する
- 0をふくむ場合は、変域の端の1つはy=0にする(aが正ならyの最小値、負なら最大値)
れい
問題: y=3x2 で x=6 のときの y の値を求めなさい。
- y=3x2にx=6を代入する: y=3×62
- 62=36を先に計算する
- y=3×36=108
答え: 108
つまずきやすいところ
y=3x2にx=6を代入するとき、3×6を先に計算してから2乗してしまう
累乗を先に計算する。3×62は、62=36を先に求めてから3をかける
変域を求めるとき、xの両端の値をそのままyの両端の値だと思ってしまう
xの範囲が0をまたぐときは、yの最小値(または最大値)は0になる。両端を代入しただけでは正しい変域が出ない
y=ax2の変化の割合を、一次関数と同じようにいつも一定だと思ってしまう
y=ax2の変化の割合は、xの範囲ごとに計算し直す必要がある
たしかめ方
- 求めたyの値を、もう一度y=ax2の式に代入し直して、式が成り立つかを確認します。
- グラフをイメージし、aの符号どおりに上に開くか下に開くか、y座標の符号(0以上か0以下か)が合っているかを見ます。