展開の公式を使って式を展開し、逆に多項式を積の形に直す(因数分解する)単元です。
だいじな考え方
- 展開には決まった形があります。(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab、(a+b)2=a2+2ab+b2、(a-b)2=a2-2ab+b2、(a+b)(a-b)=a2-b2の4つです。
- 因数分解は、展開の逆の作業です。x2+bx+cの形を見たら、「たしてb、かけてcになる2つの数」をさがして(x+p)(x+q)の形にします。
- a2+2ab+b2やa2-b2の形をしていないか先に確認すると、たして・かけての数さがしをしなくても公式でそのまま因数分解できます。
- 因数分解の前に、共通因数(すべての項に共通する文字や数)があればまずくくり出します。
因数分解は、「たして・かけて」で2つの数をさがす。
やりかた
- すべての項に共通因数があれば、先にくくり出す
- a2+2ab+b2、a2-b2などの公式の形になっていないか確認する
- あてはまらなければ、「たしてxの係数、かけて定数項になる2数」をさがす
- 見つけた2数p、qを使って(x+p)(x+q)の形にする
れい
問題: x2+9x+18 を因数分解しなさい。
- たして9、かけて18になる2数をさがす
- 3と6が、たすと9、かけると18になる
- (x+3)(x+6)の形にする
答え: (x+3)(x+6)
つまずきやすいところ
たして9、かけて18の2数をさがすのに、符号を考えずに正の数だけをさがす
定数項が負のときは、符号のちがう2数をさがす。たとえばx2+x-6なら3と-2
(a+b)2をa2+b2と、真ん中の項(2ab)を忘れて展開してしまう
(a+b)2=a2+2ab+b2。真ん中の2abを絶対に忘れない
共通因数をくくり出さずに、そのまま「たして・かけて」の公式にあてはめようとする
先に共通因数をくくり出すと数が小さくなり、そのあとの因数分解がぐっと簡単になる
たしかめ方
- 因数分解した答えを、もう一度展開してもとの式にもどるかを確かめます。これがいちばん確実な方法です。
- (x+p)(x+q)のp、qについて、p+qとp×qがそれぞれ、もとの式のxの係数と定数項に一致しているかを見ます。