円周上の点から弧を見たときの角(円周角)と、中心から見た角(中心角)との関係を学ぶ単元です。
だいじな考え方
- 1つの弧に対する円周角は、その弧に対する中心角の半分になります。これを円周角の定理といいます。
- 同じ1つの弧に対する円周角は、円周上のどこから見てもすべて等しくなります。見る点の位置が変わっても、角の大きさは変わりません。
- 直径に対する円周角は、中心角が180°になるので、その半分の90°(直角)になります。
- 円の接線は、接する点を通る半径と垂直に交わります。この性質は、接線をふくむ長さや角度の問題で使います。
円周角は、中心角のちょうど半分。
やりかた
- 求めたい角が、どの弧に対する円周角(または中心角)かを見きわめる
- 円周角の定理(円周角=中心角÷2、または中心角=円周角×2)を使う
- 同じ弧に対する円周角どうしなら、大きさが等しいことを使う
- 直径に対する角なら90°、接線があれば半径と垂直であることを使う
れい
問題: 中心角が76°のときの円周角を求めなさい。
- 円周角は中心角の半分になる
- 76°の半分を計算する
- 76÷2=38
答え: 38°
つまずきやすいところ
円周角と中心角を逆にして、円周角を2倍して中心角と同じ大きさにしてしまう
中心角のほうが大きい。円周角=中心角÷2、中心角=円周角×2の向きを取りちがえない
同じ弧に対する円周角なのに、見る点の位置がちがうから角の大きさもちがうと思ってしまう
同じ弧に対する円周角は、円周上のどの点から見てもすべて等しい
接線と半径の関係を忘れ、接点での角を自由な角度として扱ってしまう
接線は接点を通る半径と必ず垂直(90°)に交わる
たしかめ方
- 円周角を2倍した値が、もとの中心角と一致するかを確かめます。れいなら38×2=76で一致します。
- 同じ弧に対する別の円周角があれば、その角度も同じ値になっているかを見比べます。