三平方の定理

直角三角形の3辺の長さの関係を表す三平方の定理を使い、平面や空間での長さを求める単元です。

だいじな考え方

• 直角三角形で、直角に向かい合う辺(斜辺)の長さをc、残りの2辺をa、bとすると、a²+b²=c²が成り立ちます。これが三平方の定理です。
• 3辺のうち2辺がわかれば、この式を使って残りの1辺を求められます。求める辺が斜辺かどうかで、式の立て方が変わります。
• 長方形の対角線や、直方体の対角線の長さも、三平方の定理をくり返し使うことで求められます。直方体では、縦・横・高さの2乗の和の平方根が対角線の長さになります。
• 三平方の定理が成り立つのは直角三角形のときだけです。使う前に、直角があるかどうかを必ず確認します。

斜辺の2乗は、残り2辺それぞれの2乗の和に等しい。

やりかた

1. 直角三角形のどこが直角かを確認し、斜辺を見つける
2. わかっている2辺を、a²+b²=c²にあてはめる
3. 求める辺が斜辺でなければ、c²から他方の辺の2乗をひく
4. 出てきた2乗の値の平方根をとって、辺の長さを求める

れい

問題: 斜辺が10、他の1辺が6の直角三角形の残りの辺を求めなさい。

1. a²+b²=c²にあてはめる。6²+b²=10²
2. 36+b²=100より、b²=100-36=64
3. b²=64の平方根をとる。b=8

答え: 8

つまずきやすいところ

たしかめ方

• 求めた辺の長さを使って、a²+b²とc²をそれぞれ計算し、同じ値になるかを確かめます。れいなら6²+8²=36+64=100、10²=100で一致します。
• 求めた辺が、他の2辺の長さと比べて不自然に長すぎたり短すぎたりしないか、図の見た目で確認します。